ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98358
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  x² + y² – z² = 1997  имеет бесконечно много решений в целых числах.


Решение

Укажем бесконечную серию решений. Пусть  x = 2k  – произвольное чётное число, а y и z связаны равенством  y = z + 1.  Тогда  1997 – x²  – нечётное число, а  y² – z² = (y + z)(y – z) = 2z + 1.  Положив  z = 998 – 2k²,  получаем решение  (x, y, z) = (2k, 999 – 2k², 998 – 2k²).

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .