Задача 98468

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь четырехугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Сонкин М.

В трапеции ABCD площади 1 основания BC и AD относятся как  1 : 2.  Пусть K – середина диагонали AC. Прямая DK пересекает сторону AB в точке L. Найдите площадь четырёхугольника BCKL.

Решение

  Рассмотрим параллелограмм ADCE. (см. рис.). Тогда K – точка пересечения его диагоналей.  EC = AD = 2BC,  то есть B – середина отрезка EC. AB и EK – медианы треугольника ACE. По известному свойству медиан  AL = ⅔ AB.

  S_ACD = 2 S_BAC  (у этих треугольников высоты равны, а основание первого вдвое больше основания второго). Значит,  S_BAC = ⅓ S_ABCD = ⅓,
S_LAK = ⅔·½ S_BAC = ¹/₉,  S_BCKL = S_BAC – S_LAK = ²/₉.

Ответ

²/₉.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2