ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98496
Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина – на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.


Решение 1

  Пусть окружность Ω радиуса 1 c центром O касается данных прямых в точках L и M и боковой стороны AB треугольника ABC в точке K (рис. слева). По условию вписанная в треугольник окружность с центром I касается стороны AB также в точке K, а основания AC – в его середине H. Проведём прямую OA до её пересечения с высотой BH треугольника ABC в точке P.
  AM = AK = AH,  поэтому прямоугольные треугольники AMO и AHP равны. Следовательно, A – середина отрезка OP.  AIAO,  поскольку биссектрисы смежных углов MAB и CAB перпендикулярны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными, проведёнными к ней из одной точки. Аналогично  OBAO.  Значит,  AI || OB,  то есть AI – средняя линия треугольника BPO. Отсюда K – точка пересечения медиан треугольника BPO, и
IK = ½ OK = ½.


Решение 2

  Рассмотрим гомотетию с центром в точке K, переводящую Ω во вписанную окружность ω треугольника ABC (рис. справа). При этом касательная LB к Ω переходит в параллельную ей касательную к ω, то есть в прямую AC. Следовательно, точка L переходит в точку H, а точка B – в точку A. Но
AM = AK = AH,  откуда  AH = ½ MH = ½ BL  (MLBH, очевидно, прямоугольник), поэтому коэффициент гомотетии равен ½. Значит, и радиус ω равен ½.


Ответ

½.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2000/2001
Номер 22
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .