Задача 98550

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

Решение

  Покажем как последовательно строить требуемые наборы.
  Для двух чисел годится любой набор, в котором первое число меньше второго.
  Пусть построен удовлетворяющий условию набор из k чисел:  a₁ < ... < a_k.  Возьмём два таких простых числа p и q, что  q > p > a_k.  Построим возрастающий набор из  k + 1  числа:  b₁ = p,  b₂ = qa₁,  b₃ = qa₂,  ...,  b_k+1 = qa_k.  Заметим, что
    НОК(b_n, b_n+1) = q·НОК(a_n–1, a_n)  при  n > 1,  а
    НОК(b₁, b₂) = pqa₁ > qa₁a₂ > q·НОК(a₁, a₂) = НОК(b₂, b₃).
  Таким образом, для нового набора все требуемые неравенства выполнены.

Ответ

Существуют.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2