|
|
 |
Условие
Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.
Решение
Пусть первое число A1 = a1...am, а разность прогрессии D = d1...dk.
Рассмотрим число n, гораздо большее чем m и k. Положим i = 1 + 10n. Тогда в i-м члене подчёркнуто число
Но это можно сделать (так как a1 ≠ 0) только в случае, когда a1 = 1, а D оканчивается на
"Расположить" в этом числе число
можно только если k – m = 0. Следовательно, D = 10m–1.
Замечания
7 баллов
