Задача 98589

Темы:    [ Последовательности (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

Решение

Отбросив у каждого члена a_n нашей последовательности последнюю цифру, получим последовательность {b_n}, где каждый член равен предыдущему или на 1 больше. Поскольку последовательность {a_n} возрастает, в последовательности {b_n} встретятся все натуральные числа, начиная с b₁. В частности, там встретится число, все цифры которого нечётны. Если соответствующий член исходной последовательности нечётен, то следующий чётен.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5