Задача 98657

Тема:    [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 2 Классы: 5,6

Условие

Чему равно выражение (10²+11²+12²+13²+14²)/365 ?

Подсказка

Заметьте, можно просто «посчитать в лоб», т.е. вычислить каждый из квадратов, все сложить и, наконец, поделить; а можно вспомнить формулу квадрата суммы и сделать некоторые преобразования.

Решение

Приведем порядок действий, которые вполне могут быть сделаны в уме.
10² + 11² + 12² + 13² + 14² = 10² + (10+1)² + (10+2)² + (10+3)² + (10+4)² = 5×10² + 2×10×(1 + 2 + 3 + 4) + 1² +2² +3² + 4² =500 + 200 + 1 + 4 + 9 + 16 = 730.
Теперь уже легко сообразить, что ответ задачи — 2. Можно решить эту задачу и по-другому:
10² + 11² + 12² + 13² +14² = (12−2)² + (12−1)² + 12² + (12+1)² + (12+2)² = 5×12² + 2×10×(1+2−1−2) +2×(1² + 2²) = 60×12 + 0 + 2×5 = 720 + 10 = 730.
И теперь тоже легко сообразить, что ответ задачи — 2.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	6
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	11
задача
Номер	11.9