Условие
Сказка о царе Салтане. В подвалах Князя Гвидона среди мешков с золотыми монетами, отлитыми из ореховых скорлупок, затесался один, в котором все монеты фальшивые. И мешок, и монеты выглядят точно так же, как настоящие, но настоящая монета весит 20 золотников, а фальшивая — 15. Как с помощью одного (!) взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Подсказка
Попробуйте взять 1 монету из первого мешка, 2 — из второго, 3 — из третьего, …,
n — из последнего и взвесить их.
Решение
Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третьего — 3, …, из последнего —
n монет. Всего будет 1 + 2 + 3 + … +
n =
n · (
n + 1)/2 монет. Взвесим их. Если бы все они были настоящие, они весили бы 10
n(
n + 1) золотников. Но в нашем случае будут весить меньше. Если фальшивая монета одна — будет не хватать 5, если две — 10,…, если
n фальшивых монет — будет не хватать 5
n золотников. Таким образом, зная, сколько не хватает до 10
n(
n + 1) золотников, мы сразу определим, сколько фальшивых монет. А число фальшивых монет, в свою очередь, покажет нам номер мешка, в котором они лежат.
Источники и прецеденты использования
