Задача 98666

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Условие

Найдите все несократимые дроби, увеличивающиеся вдвое после увеличения и числителя и знаменателя на 10.

Решение

Пусть  2^a/_b = ^{a + 10}/_{b + 10}.  Тогда  2a(b + 10) = b(a + 10),  a(b + 20) = 10b.  Отсюда видно, что a является делителем 10 (по условию у b и a нет общих делителей). При  a = 1  и  a = 10  целых значений не получается; при  a = 2  получаем  b = 5,  а при  a = 5  b = 20.  Последний случай не годится – дробь сократима.

Ответ

⅖.