Задача 1

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a^b - число рациональное?

Задача 2

Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?

Задача 3

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  P₁(x), P₂(x) и P₃(x). Докажите, что уравнение  |P₁(x)| + |P₂(x)| = |P₃(x)|  имеет не более восьми корней.

Задача 4

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Задача 5

За круглым столом сидят n человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?