Задача 1

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов  x² + ax + b,  x² + cx + d,  x² + ex + f  не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

Задача 2

Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Задача 3

Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

Задача 4

Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ не может быть правильным.

Задача 5

Докажите, что в кубе можно проделать отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.