Задача 1
Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?
Задача 2
Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую
прогрессию, то радиус вписанного круга равен

одной из высот.
Задача 3
Как соединить 50 городов наименьшим числом авиалиний так, чтобы из каждого
города можно было попасть в любой, сделав не более двух пересадок?
Задача 4
Дорожки в зоопарке образуют равносторонний треугольник, в котором проведены
средние линии. Из клетки сбежала обезьянка. Её ловят два сторожа. Смогут ли
они поймать обезьянку, если все трое будут бегать только по дорожкам,
скорость обезьянки и скорости сторожей равны и они видят друг друга?
Задача 5
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус.
На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них.
После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка.
Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?