ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102298
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол C – прямой, отношение медианы CM к биссектрисе CN равно  ,  высота  CK = 2.
Найдите площади треугольников CNK и ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Заметьте, что CN – биссектриса угла KCM.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Треугольники BMC и AMC – равнобедренные. Поэтому  ∠BCM = ∠B = ∠ACK,  ∠KCN = ∠ACN – ∠ACK = ∠BCN – ∠BCM = ∠MCN,  то есть CN – биссектриса угла KCM.
  Обозначим  ∠KCN = ∠MCN = α.  Тогда  cos α/cos 2α = ,   откуда  cos α = ,   sin α = .   Значит,  CN = CK/cos α = 2 =  ,
AB = 2CM = 2CN = 12.
  Следовательно,  SABC = ½ AB·CK = 12,  SCNK = ½ CN·CK sin α = .


Ответ

,  12.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3725

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .