Задача 102298

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C – прямой, отношение медианы CM к биссектрисе CN равно  ,  высота  CK = 2.
Найдите площади треугольников CNK и ABC.

Подсказка

Заметьте, что CN – биссектриса угла KCM.

Решение

  Треугольники BMC и AMC – равнобедренные. Поэтому  ∠BCM = ∠B = ∠ACK,  ∠KCN = ∠ACN – ∠ACK = ∠BCN – ∠BCM = ∠MCN,  то есть CN – биссектриса угла KCM.
  Обозначим  ∠KCN = ∠MCN = α.  Тогда  ^{cos α}/_{cos 2α} = ,   откуда  cos α = ,   sin α = .   Значит,  CN = ^CK/_{cos α} = 2 =  ,
AB = 2CM = 2CN = 12.
  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·CK = 12,  S_CNK = ½ CN·CK sin α = .

Ответ

,  12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3725