|
|
 |
Условие
Через точку N проведены две прямые, касающиеся некоторой окружности с центром O. На одной из этих прямых взята точка A, а на другой прямой взята точка B так, что OA = OB, OA > ON. Известно, что NA = a, NB = b, OA = c (a ≠ b). Найдите ON.
Подсказка
Пусть окружность касается прямых NA и NB в точках P и Q соответственно. Тогда окружность вписана в угол PNQ, а точки A и B лежат на сторонах одного из двух углов, смежных с углом PNQ. Докажите, что отрезки AP и BQ равны и выразите их через a, b и c.
Решение
Пусть окружность касается прямых NA и NB в точках P и Q соответственно. Тогда окружность вписана в угол PNQ. Заметим, что поскольку OA = OB и
OA > ON, то точки A и B лежат на сторонах одного из двух углов, смежных с углом PNQ. Прямоугольные треугольники AOP и BOQ равны по катету и гипотенузе, поэтому AP = BQ. Из равенства NP = NQ следует, что NA – AP = BQ – NB, или a – AP = BQ – b, а так как AP = BQ, то
AP = BQ = ½ (a + b). Значит, NP = AN – AP = a – ½ (a + b) = ½ (a – b). Из прямоугольных треугольников AOP и NOP последовательно находим, что
OP² = OA² – AP² = c² – ¼ (a + b)², ON² = NP² + OP² = ¼ (a – b)² + c² – ¼ (a + b)² = c² – ab.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3785 |
