Информация о задаче

Задача 102474

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На отрезке AB взята точка C, отрезки AB и CB служат диаметрами окружностей. Хорда AM касается меньшей окружности в точке D. Прямая BD пересекает большую окружность в точке N, $\angle$ DAB = $\alpha$ , AB = 2R. Найдите площадь четырехугольнка ABMN.

Подсказка

Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда OD $\Vert$ BM. Далее воспользуйтесь формулой площади четырёхугольника через диагонали и угол между ними.

Решение

Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Поскольку BM $\perp$ AM (точка M лежит на окружности с диаметром AB) и OD $\perp$ AM (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной), то BM $\Vert$ OD.

Отсюда следует, что $\angle$ OBD = $\angle$ ODB = $\angle$ MBD, т.е. BD — биссектриса угла ABM, равного 90^o - $\alpha$ . Значит,

$\displaystyle \angle$ ABN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ABM = 45^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поэтому

BN = AB^.cos $\displaystyle \angle$ ABN = 2R cos(45^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ).

Из прямоугольного треугольника AMB находим, что

AM = AB^.cos $\displaystyle \angle$ BAM = 2R cos $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку ADN — внешний угол треугольника ADB, то

$\displaystyle \angle$ ADN = $\displaystyle \angle$ BAD + $\displaystyle \angle$ ABN = $\displaystyle \alpha$ + 45^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 45^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABMN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AM^.BN^.sin $\displaystyle \angle$ ADN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R cos $\displaystyle \alpha$ ^.2R cos(45^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ )^.sin(45^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ) =

= 2R^{2 .} $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (sin 90^o + sin $\displaystyle \alpha$ ) = R²cos $\displaystyle \alpha$ (1 + sin $\displaystyle \alpha$ ).

Ответ

R²cos $\alpha$ (1 + sin $\alpha$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3897