ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102485
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса r с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Для сторон треугольника выполнено соотношение HK2 - HM2 = HM2 - MK2. Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан треугольника MKH.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим HK = b, KM = c. Из условия задачи следует, что

b2 - a2 = a2 - c2 $\displaystyle \Rightarrow$ b2 + c2 = 2a2.

Пусть KK1 — медиана треугольника MKH. По формуле для медианы

KK12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2b2 + 2c2 - a2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(4a2 - a2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$a2.

Поэтому

KL = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$KK1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ . $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$.

Поскольку L — точка пересечения медиан треугольника MKH, то

$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{L}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{K}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{H}$).

Обозначим

$\displaystyle \angle$KOM = 2$\displaystyle \gamma$ ,$\displaystyle \angle$KOH = 2$\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$MOH = 2$\displaystyle \alpha$.

(половина каждого из этих углов равна соответствующему углу треугольника MKH или дополняет его до 180o). Тогда

OL2 = $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{L}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$($\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{K}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{H}^{2}_{}$ + 2$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}$ . $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{K}$ + 2$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{K}$ . $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{H}$ + 2$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}$ . $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{H}$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(r2 + r2 + r2 + 2r . r . cos 2$\displaystyle \gamma$ + 2r . r . cos 2$\displaystyle \beta$ + 2r . r . cos 2$\displaystyle \alpha$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$r2(3 + 2(cos 2$\displaystyle \gamma$ + cos 2$\displaystyle \beta$ + cos 2$\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$r2(3 + 2(1 - 2 sin2$\displaystyle \gamma$ + 1 - 2 sin2$\displaystyle \beta$ + 1 - 2 sin2$\displaystyle \alpha$)) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$r2(9 - 4(sin2$\displaystyle \gamma$ + sin2$\displaystyle \beta$ + sin2$\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$r2$\displaystyle \left(\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2r}\right)^{2}\right)}\right.$9 - 4$\displaystyle \left(\vphantom{\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2r}\right)^{2}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{2r}}\right.$$\displaystyle {\frac{c}{2r}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{2r}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{2r}}\right.$$\displaystyle {\frac{b}{2r}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{2r}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2r}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{2r}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2r}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2r}\right)^{2}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2r}\right)^{2}\right)}\right)$ =

= r2 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ . 4 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a2 + b2 + c2) = r2 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ . 3a2 = r2 - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{3}}$.

Таким образом, нам известны стороны OL = $ \sqrt{r^{2} - \frac{a^{2}}{3}}$, KL = $ {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ и OK = r треугольника OLK. Поскольку

OL2 + KL2 = $\displaystyle \left(\vphantom{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}\right.$r2 - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}\right)$ + $\displaystyle {\frac{a^{2}}{3}}$ = r2 = OK2,

то треугольник OLK — прямоугольный, причём KL и OL — его катеты. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$OLK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . KL . OL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ . $\displaystyle \sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\sqrt{3}}}$ . $\displaystyle \sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ {\frac{a}{2\sqrt{3}}}$ . $ \sqrt{r^{2} - \frac{a^{2}}{3}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3908

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .