ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 104033
Темы:    [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежат несколько тонких спичек одинаковой длины. Всегда ли можно раскрасить их концы  а) в 2,   б) в 3 цвета так, чтобы два конца каждой спички были разных цветов, а каждые два касающихся конца (разных спичек) – одного и того же цвета?


Решение

а) Достаточно взять три спички и сложить из них правильный треугольник. Предположим, что нам удастся раскрасить его вершины в два цвета. Какие-то две вершины окажутся одного цвета, а значит, у спички, которая соединяет эти вершины, оба конца будут одного цвета. Противоречие.

б) Сложим из 11 спичек конструкцию, изображённую на рисунке. Если бы удалось раскрасить семь вершин этой фигуры в три цвета, то какие-то три вершины оказались бы одного цвета. Несложно проверить, что и в этом случае найдётся спичка, оба конца которой имеют один и тот же цвет.


Ответ

а-б) Не всегда.

Замечания

Можно ли раскрасить концы спичек в 4, 5 или хотя бы 6 цветов так, чтобы было выполнено то же условие, неизвестно.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название ВМШ 57 школы
класс
Класс 7
год
Место проведения 57 школа
Год 2005/06
занятие
Номер 10
Название Спички как игрушки
Тема Геометрия на клетчатой бумаге
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .