ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108053
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.


Подсказка

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.


Решение

Пусть окружность радиуса r с центром A касается стороны угла в точке A1, окружность радиуса R с центром B касается той же стороны угла в точке B1, а O1 – проекция центра O окружности с диаметром AB на эту сторону. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому  AB = r + R.  Значит, радиус окружности с центром O равен  ½ (R + r).  С другой стороны, отрезок OO1 – средняя линия прямоугольной трапеции AA1B1B. Поэтому  OO1 = ½ (AA1 + BB1) = ½ (R + r) = ½ AB.  Следовательно, окружность с центром O касается стороны угла.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4333
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .