ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108164
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Площадь параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых  AL = AB  и
CN = CB.  Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Продолжите высоту BF до пересечения с PQ.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Проведём третью высоту BF и продолжим её до пересечения с отрезком PQ в точке T. Прямоугольные треугольники ABF и ACE подобны, поэтому
AE : AC = AF : AB  ⇒  AE·AB = AF·AC  ⇒  SAEKL = AE·AL = AE·AB = AF·AC = AF·AQ = SAFTQ.
  Аналогично  SCDMN = SCFTP.  Следовательно,  SACPQ = SAFTQ + SCFTP = SAEKL + SCDMN.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6511
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .