Задача 108534

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любая прямая в декартовых координатах xOy имеет уравнение вида ax + by + c = 0. где a, b, c — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел a, b отлично от нуля.

Подсказка

Возьмите две точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) так, чтобы данная прямая была серединным перпендикуляром к отрезку AB, и примените теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Решение

Пусть l — произвольная прямая на плоскости XOY. Рассмотрим две различные точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂), симметричные относительно прямой l. Поскольку прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку AB, то произвольная точка M(x;y) этой прямой равноудалена от концов отрезка AB. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению

(x - x₁)² + (y - y₁)² = (x - x₂)² + (y - y₂)².

Обратно, если координаты точки M удовлетворяют этому уравнению, то она равноудалена от точек A и B, а значит, лежит на прямой l.

После раскрытия скобок и приведения подобных полученное уравнение примет вид:

2(x₂ - x₁)x + 2(y₂ - y₁)y + (x₁² + y₁² - x₂² - y₂²) = 0.

Обозначив 2(x₂ - x₁) = a, 2(y₂ - y₁) = b и x₁² + y₁² - x₂² - y₂², получим уравнение

ax + by + c = 0.

Поскольку точки A и B различны, то крайней мере одно из чисел a и b отлично от нуля.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4203