Задача 108608
|
|
 |
Условие
Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BO = CO.
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
Решение
Поскольку треугольник BOC равнобедренный, то его медиана OD является высотой, поэтому AD – высота (и медиана) треугольника ABC. Значит,
AB = AC, а O – точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда и биссектриса CF является его высотой. Поэтому и AC = BC.
Замечания
1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 6 кл., зад. 2).
2. 3 балла.
