Условие
Пусть
A – некоторая точка пространства, не лежащая в плоскости
α ,
M – произвольная точка плоскости
α . Найдите
геометрическое место середин отрезков
AM .
Решение
Пусть
B – некоторая точка плоскости
α . Через середину
P отрезка
AB проведём плоскость
γ , параллельную плоскости
α . Докажем,
что плоскость
γ есть искомое геометрическое место точек.
Пусть
X – произвольная точка плоскости
α (рис.1).
Плоскость, проходящая через прямую
BX и точку
A , пересекает
плоскость
γ по прямой
l , проходящей через точку
P параллельно
BX .
Значит, прямая
l пересекает отрезок
AX в его середине
Z . Таким
образом, середина
Z отрезка
AX лежит в плоскости
γ .
Пусть теперь
N – произвольная точка плоскости
γ (рис.2). Докажем, что
N – середина отрезка, один конец которого есть точка
A , а второй
лежит в плоскости
α . Действительно, если прямая
AN пересекает
плоскость
α в точке
D , то плоскость, проходящая через прямую
DB и
точку
A пересекает плоскость
γ по прямой
PN , параллельной
DB , а
т.к.
P – середина
AB , то
N – середина
AD . Таким образом,
AD –
искомый отрезок.
Ответ
Плоскость.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8135 |
