ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109364
Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
[ Объем параллелепипеда ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с двумя из его граней углы α и β . Найдите объём параллелепипеда.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором BD1 = d . Прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым AD и AA1 плоскости AA1D1D , поэтому прямая AB перпендикулярна плоскости AA1D1D . Значит, AB AD1 и AD1 – ортогональная проекция наклонной BD1 на плоскость AA1D1D . Аналогично, CD1 – ортогональная проекция наклонной BD1 на плоскость DD1C1C . Тогда AD1B и CD1B – углы прямой BD1 с плоскостями AA1D1D и DD1C1C соответственно. Пусть AD1B = α , CD1B = β . Из прямоугольных треугольников ABD1 , BCD1 и CDD1 находим, что

AB = BD1 sin α = d sin α, BC = BD1 sin β = d sin β,


CD1 = BD1 cos β = d cos β,


DD1 = = = =


= d.

Следовательно,
VABCDA1B1C1D1 = AB· BC· DD1 = d sin α · d sin β · d =


= d3 sin α sin β .


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

d3 sin α sin β .
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8444

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .