Задача 109577

Тема:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Калинин А.

Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению

(x-1)f()-f(x)=x
при всех x1 . Найдите все такие функции.

Решение

Подставив в данном уравнении вместо x дробь , получаем:

f(x)-f()=. (1)
Уравнение (1) вместе с данным в условии уравнением задает систему из двух уравнений с неизвестными f(x) и f() . Решив ее, находим, что f(x)=1+2x . Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет уравнению.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	94.4.11.6