|
|
 |
Условие
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник
ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе
пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Решение
Будем говорить "в" вместо "внутри или на границе".
Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник минимальной площади S , для
которого не выполняется утверждение задачи (так как площадь любого
пятиугольника с вершинами в целых точках – число полуцелое, то такой
найдется).
Покажем, что все целые точки в треугольнике AC1D1 , кроме A ,
лежат на C1D1 . В самом деле, если в нем есть другая целая точка K , то
площадь выпуклого пятиугольника KBCDE меньше S , а внутренний
пятиугольник в KBCDE лежит в пятиугольнике A1B1C1D1E1 , что,
очевидно, невозможно.
Через ρ (M,PQ) будем обозначать расстояние от точки M до прямой PQ .
Выберем из треугольников ABC , BCD , CDE , DEA и EAB треугольник наименьшей площади.
Пусть это Δ ABC . Тогда
ρ (A,BC)ρ (D,BC) и ρ (C,AB)
ρ (E,AB) .
Рассмотрим точку O такую, что ABCO – параллелограмм (очевидно, эта точка целая).
Тогда ρ (O,BC)=ρ (A,BC) и ρ (O,AB)=ρ (C,AB)ρ (B1,AB) , поэтому
точка O лежит в треугольнике AB1C . Тогда из доказанного в предыдущем абзаце
следует, что она лежит в пятиугольнике A1B1C1D1E1 , чего не может быть. Противоречие.
