Задача 110179

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Синусы и косинусы углов треугольника ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.
Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

Решение

  Из условия следует, что углы α₁, α₂, α₃ первого треугольника – острые (cos α_i = sin β_i > 0,  где β₁, β₂, β₃ – углы второго треугольника). Поэтому  β_i = 90° ± α_i,
i = 1, 2, 3.  Из равенства  180° = β₁ + β₂ + β₃ = 270° + (± α₁ ± α₂ ± α₃), где  α₁ + α₂ + α₃ = 180°,  следует, что в скобках есть как знаки +, так и знаки –.
  Кроме того, во втором треугольнике не может быть двух тупых углов, поэтому в скобках один знак + и два знака –.
  Значит, с точностью до перестановки  180° = 270° + (α₁ – α₂ – α₃),  откуда  α₁ = 45°,  то есть  β₁ = 135°.  Это единственный тупой угол второго треугольника, а первый треугольник – остроугольный; значит, этот угол – наибольший.

Ответ

135°.

Замечания

Треугольники, о которых говорится в задаче, существуют – например, треугольники с углами 70°, 65°, 45° и 20°, 25°, 135°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	10
задача
Номер	05.4.10.1