ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110221
Тема:    [ Задачи на движение ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)


Решение

  Достаточно решить задачу для случая, когда самый медленный гонщик стоит на месте в точке старта, а остальные (назовём их Петя, Вася и Коля) едут со скоростями, уменьшенными на скорость самого медленного; при таком изменении условия моменты встреч гонщиков останутся неизменными.
  Пусть до первой встречи с Васей в точке старта Петя проехал a кругов, а с Колей – b кругов. Тогда Петя будет встречаться на старте с Васей через каждые a кругов, а с Колей – через каждые b кругов, и через ab Петиных кругов в точке старта окажутся все трое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 06.4.8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .