Задача 110435

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Куб ] [ Построения на проекционном чертеже ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На рёбрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F , причём AE = 2A1E , CF =2C1F . Через точки B , E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объёма части, содержащей точку B1 , к объёму всего куба.

Решение

Пусть прямые BF и B1C1 пересекаются в точке P , прямые BE и A1B1 – в точке Q , а прямая PQ пересекает рёбра A1D1 и C1D1 в точках N и M соответственно. Тогда сечение куба плоскостью BEF – пятиугольник BFMNE . Положим AB=2a . Тогда объём куба равен V=8a3 . Из подобия треугольников PFC1 и CFB находим, что

PC1 =BC· = 2a· = a.
Аналогично, QA1=a . Из подобия треугольников PMC1 и PQB1 находим, что
MC1 =QB1· = 3a· = a,
т.е. M – середина C1D1 . Аналогично, N – середина A1D1 . Рассмотрим треугольную пирамиду BB1PQ с вершиной B . Её высота равна ребру куба, а т.к. N и M – середины соседних сторон квадрата A1B1C1D1 , то
S_{Δ B}1PQ = B1P· B1Q = (3a)2= a2.
Тогда
V_BB1PQ = S_{Δ B}1PQ· BB1 = · a2· 2a = 3a3.
Пусть V1 – объём части куба, содержащей вершину B1 . Тогда
V1 = V_BB1PQ - V_FMC1P - V_ENA1Q = 3a3 - 2· S_{Δ MC}1P· FC1 =

=3a3 - 2· · a2 · a = 3a3 - a3 = a3 = · 8a3 = V.
Следовательно, = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8621