Задача 110497

Темы:    [ Конус ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол α , cos α = . В конус вписан шар, через окружность касания шара и боковой поверхности конуса проведена плоскость. Объём части конуса, заключённой между этой плоскостью и плоскостью основания конуса, равен 37. Найдите объём остальной части конуса.

Решение

Пусть P – вершина конуса, PH – его высота, O – центр вписанного в него шара. Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник PAB с углом α при основании AB . При этом сечение шара есть окружность с центром O , вписанная в треугольника PAB и касающаяся основания AB в точке H , а боковых сторон PA и PB – в точках M и N соответственно. Пусть K – середина MN , R – радиус основания конуса, V – его объём, v – искомый объём. Тогда V-v = 37 . Поскольку конус, отсекаемый от данного конуса указанной плоскостью, подобен данному конусу, v = k3V , где k – коэффициент подобия. Далее имеем:

k= = = = 1- = 1- = 1- cos α = 1- = ,

v=()3V = V, V-v = V-V = V = 37, V = 64.
Следовательно, v=V = 27 .

Ответ

27.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8694