Задача 110560

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Цилиндр ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Отношение объемов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ребро AB вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости грани ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SCD и SBC – прямоугольники с общей вершиной в точке C . Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.

Решение

Поскольку цилиндр расположен по одну сторону от плоскости основания ABCD и окружность его основания проходит через центр H основания пирамиды, то H – единственная общая точка окружности основания цилиндра и плоскости основания пирамиды (рис.1). Поскольку проекция цилиндра на плоскость SBC есть прямоугольник, ось цилиндра параллельна этой плоскости. Аналогично, ось цилиндра параллельна плоскости SCD . Следовательно, ось цилиндра параллельна прямой SC пересечения этих плоскостей. Тогда плоскости оснований цилиндра перпендикулярны ребру SC . По теореме о трёх перпендикулярах прямая BD также перпендикулярна этому ребру и проходит через точку H , лежащую в плоскости одного из оснований цилиндра. Значит, прямая BD лежит в плоскости этого основания цилиндра, а т.к. H – единственная общая точка окружности основания цилиндра и прямой BD , то BD – касательная к этой окружности. Пусть M – основание перпендикуляра, опущенного из центра H квадрата ABCD на ребро CS . Точка M лежит в одной из плоскостей оснований цилиндра, а плоскость второго основания проходит через точку C , т.к. эта точка лежит на ортогональных проекциях второго основания на плоскости SCD и SBC . Значит, высота цилиндра равна длине отрезка MC . Кроме того, цилиндр и вершина S расположены по разные стороны от плоскости основания пирамиды, а в плоскости BMD центр O основания цилиндра и точка M расположены по разные стороны от прямой BD . Обозначим AB=a . Тогда SH= . Из прямоугольных треугольников SHC , CMH и DMH находим, что

SC = = = ,

MH = = = ,

CM = = = ,

tg DMH = = = , DMH = 60^o, BMD = 2 DMH = 120^o.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точку C перпендикулярно ребру SC (рис.2). В этой плоскости расположена окружность основания цилиндра и две касательные к ней – прямые, содержащие стороны прямоугольников с общей вершиной C . Одна из этих прямых перпендикулярна плоскости SCD , а вторая – плоскости SBC . Пусть P и Q – точки касания, а B' , D' , H' и O' – ортогональные проекции на эту плоскость точек B , D , H и O соответственно. Тогда O'CB' = O'CD'= OMD = 60^o , а PCD'= QCB'=90^o , т.к. прямые PC и QC перпендикулярны плоскостям SCD и SCB , содержащим прямые CD' и CB' соответственно. Поэтому
O'CQ = QCB' - O'CB'= 90^o-60^o = 30^o.
Пусть R – радиус основания цилиндра. Из прямоугольного треугольника O'CQ находим, что
R= O'Q = O'C = (O'H'+CH') = (R+CH') = (R+),
откуда R= . Если V1 – объём цилиндра, а V1 – объём пирамиды, то
V1= π R2· MC = · =, V2 = a2· = .
Следовательно,
= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8759