Задача 111049

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На основании BC трапеции ABCD взята точка E, лежащая на одной окружности с точками A, C и D. Другая окружность, проходящая через точки A, B и C, касается прямой CD. Найдите BC, если  AB = 12  и  BE : EC = 4 : 5.  Найдите все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй при данных условиях.

Решение

  По теореме об угле между касательной и хордой  ∠ACD = ∠ABC,  а так как  BC || AD,  то  ∠CAD = ∠ACB.
  Значит, треугольники ACD и CBA подобны по двум углам. Поэтому  ∠BAC = ∠CDA.  По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая AB – касательная к этой окружности. Положим  BE = 4t,  EC = 5t.  По теореме о касательной и секущей  AB² = BC·BE,  или  12² = 36t.  Отсюда  t = 2,  BC = 9t = 18.
  Для выполнения условий необходимо и достаточно существование треугольника ABC со сторонами  AB = 12  и  BC = 18  (точка D восстанавливается из равенства соответствующих углов, влекущего и параллельность прямых AD и BC, и касание прямыми AB и CD соответствующих окружностей, и деление точкой E секущей BC в нужном отношении), кроме случая  BC = AC  (когда и  AC = AD,  а ABCD – параллелограмм). Существование такого треугольника равносильно условию  BC – AB < AC < BC + AB,  или  18 – 12 < AC < 18 + 12.  Значит, отношение радиусов описанных окружностей подобных треугольников ACD и ABC, удовлетворяет соотношениям  

Ответ

18;   ^r₁/_r2 ∈ (⅓, 1) ∪ (1, ⁵/₃).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4404