Задача 111194

Темы:    [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна a . Точка E – середина ребра CD , точка F – середина высоты BL грани ABD . Отрезок MN с концами на прямых AD и BC пересекает прямую EF и перпендикулярен ей. Найдите длину этого отрезка.

Решение

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AD и BC . Пусть точка X лежит на прямой AD , а точка Y – на прямой BC . Известно, что геометрическое место середин отрезков XY есть плоскость, параллельная прямым AD и BC и проходящая через середину какого-нибудь такого отрезка. В нашем случае это плоскость γ , проходящая через середину E отрезка CD параллельно рёбрам AD и BC тетраэдра. В этой плоскости лежит точка F . По условию задачи точка P пересечения прямой MN с плоскостью γ – середина отрезка MN . Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра на плоскость γ . Получим квадрат A'B'D'C' , где A' , B' , D' и C' – проекции точек A , B , D и C соответственно. Путь M' и N' – проекции точек M и N . По теореме о трёх перпендикулярах M'N' EF , а т.к. MP=NP , то M'P=N'P . Пусть Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на B'C' . Тогда

EQ = DL = · = , FQ = FL+LQ = B'L+C'L = + = .
Обозначим M'P=N'P=x , LM'N'= EFQF = α . Из прямоугольных треугольников EFQ и LN'M' находим, что
tg α = = = , cos α = = ,

LM' = M'N' cos α = 2x· = .
Пусть отрезки EF и D'L пересекаются в точке T . Тогда
LT = FL tg α = · = , M'T= = = ,
а т.к. LM' = LT+M'T , то
= + ,
откуда M'P= x= . Расстояние от точки M до плоскости γ вдвое меньше, чем расстояние между противоположными рёбрами правильного тетраэдра ABC , т.е.
MM'=· = .
Из прямоугольного треугольника MM'P находим, что
MP = = = .
Следовательно, MN = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8876