Задача 111299

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В шаре радиуса 9 через точку S проведены три равные хорды AA1 , BB1 и CC1 так, что AS = 4 , A1S = 8 , BS < B1S , CS < C1S . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABC .

Решение

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны, поэтому BS· SB1 = AS· SA1= 4· 8 = 32 . Кроме того, BB1=AA1= AS+SA1 = 4+8 = 12 . Из системы

и условия BS < B1S находим, что BS = 4 и SB1 = 8 . Аналогично, CS = 4 и SC1 = 8 . Пусть A2 , B2 и C2 – основания перпендикуляров, опущенных из центра O сферы на хорды AA1 , BB1 и CC1 соответственно. Тогда точки A2 , B2 и C2 – середины этих хорд. Заметим, что треугольная пирамида SABC подобна треугольной пирамиде SA2B2C2 , т.к. эти пирамиды гомотетичны с центром гомотетии S и коэффициентом
k=- = - = - = -2.
Поэтому радиус R сферы, описанной около пирамиды SABC в два раза больше радиуса r сферы, описанной около пирамиды SA2B2C2 . Отрезок OS виден из точек A2 , B2 и C2 под прямым углом, значит, эти точки лежат на сфере с диаметром OS , т.е. OS – диаметр сферы, описанной около пирамиды SA2B2C2 . Из прямоугольных треугольников AOA2 и OSA2 находим, что
OA22 = OA2-AA22 = OA2-(AA1)2 = 92-62 = 45,

2r = OS = = = 7.
Следовательно, R=2r = 7 .

Ответ

7.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8934