Задача 111392

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Правильный тетраэдр ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильном тетраэдре ABCD плоскость P пересекает рёбра AB , BC , CD , AD в точках K , L , M , N соответственно. Площади треугольников AKN , KBL , NDM составляют соответственно , , площади грани тетраэдра. В каком отношении плоскость P делит площадь грани BCD ?

Решение

Сначала докажем следующую лемму: если плоскость пересекает рёбра AB , BC , CD , AD произвольного тетраэдра ABCD в точках K , L , M , N соответственно (рис.1), то · · · =1 . Доказательство. Если окажется, что плоскость параллельна прямой BD , то KN || BD и ML || BD . Тогда = и = , следовательно,

· · · = (· )· (· )=1.
Пусть плоскость пересекает прямую BD в некоторой точке E . Через вершину A проведём прямую, параллельную BD . Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке Q . Из подобия треугольников ANQ и DEN следует, что DE = AQ· , а из подобия треугольников AKQ и BKE – BE = AQ· , поэтому
= = · .
Аналогично докажем, что =· . Из равенства · =· следует доказываемое утверждение. Можно считать, все рёбра данного правильного тетраэдра равны 1. Обозначим DN=x , AK=y , BL=z , CM=t (рис.2). По лемме
· · · = = 1.
Кроме того,
= · = · = (1-x)y,

= · = · = (1-y)z,

= · = · = (1-t)x.
Таким образом, имеем систему

Выразив y , z и t через x из трёх последних уравнений, получим систему

Подставив найденные выражения для y , z и t в первое уравнение, найдём, что x= . Тогда y= , z= , t= . Поэтому
= · = · = (1-z)t = · = .
Следовательно, = .

Ответ

1:7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8999