ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111597
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O, X – произвольная точка внутри треугольника ABC, для которой  ∠XAB = ∠XBC = φ,  а P – такая точка, что  PXOX,  ∠XOP = φ,  причём углы XOP и XAB одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P лежат на одной прямой.


Решение

  ∠ABX = ∠B – φ,  ∠BXA = 180° – (φ + ∠B – φ) = 180° – ∠B,  значит, из всех таких точек X отрезок AB виден под одним и тем же углом, то есть все точки X лежат на дуге фиксированной окружности Ω, проходящей через вершины B и C.
  Пусть Y – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BP. Точки X и Y лежат на окружности ω с диаметром OP. Вписанные в ω углы XOP и XYP равны, поэтому  ∠XYB = ∠XYP = φ = ∠XAB.  Значит, точка Y лежит на окружности, проходящей через точки A, B и X, то есть на окружности Ω. Кроме того,  ∠OYB = 90°,  поэтому точка Y лежит на окружности с диаметром OB. Следовательно, точка Y фиксирована, а точка P лежит на прямой, проходящей через фиксированные точки B и Y.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4692

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .