ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111632
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (см. рис.).

Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

  Пусть сторона квадрата равна 2. Тогда его площадь равна 4. А площадь двенадцатиугольника равна 3 (см. зад. 111633). Значит, площадь оставшейся части (а она состоит из четырех фигур, равных заштрихованной) равна 1. Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна ¼, что и составляет 1/12 площади двенадцатиугольника.


Решение 2

  Заметим, что каждый угол правильного двенадцатиугольника равен 150°. Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них – ABCD (см. рис.).

  Пусть P и Q – точки внутри квадрата ABCD, для которых  ∠PAB = ∠PBA = ∠QBC = ∠QCB = 15°.  Тогда  ∠APB = ∠BQC = 150°,  ∠PBQ = 60°,  а равнобедренные треугольники APB и BQC равны. Значит,  ∠BPQ = ∠BQP = 60°,  AP = BP = PQ = BQ = CQ.  Теперь нетрудно проверить, что
APQ = ∠PQC = 150°.  Следовательно, AP, PQ и QC – стороны правильного двенадцатиугольника, о котором говорится в условии задачи. Пусть O – центр описанной окружности треугольника PDQ. Тогда  ∠POD = ∠QOD = 150°,  ∠POQ = 60°,  поэтому треугольник POQ равен треугольнику PBQ, а треугольники DOP и DOQ равны треугольникам APB и BQC. Таким образом, сумма площадей треугольников APB, BPQ и BQC равна площади треугольника PDQ, то есть в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4177

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .