Задача 111669

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине, M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудалённая от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.

Решение

Пусть прямая, проходящая через точку B₁ перпендикулярно AB₁, пересекает прямую AC в точке L, а прямая, проходящая через точку C₁ перпендикулярно AC₁, пересекает прямую AB в точке K. Тогда  AL : AK = AB₁ : AC₁ = AC : AB, значит,  KL || BC,  поэтому точка N пересечения медианы AA₁ с отрезком KL – середина KL. Согласно задаче 111667 точка N равноудалена от точек B₁ и C₁, а значит, совпадает с точкой M . По той же задаче
∠B₁MC₁ = 2∠ALB₁ = 2(90° – ∠B₁AC) = 180° – 2∠B₁AC = φ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4187