ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111768
Темы:    [ Неравенства с объемами ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Объем параллелепипеда ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м3 ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м2 ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?

Решение

Нельзя. Предположим, что хороший тетраэдр объема V с площадью поверхности S помещен внутри хорошего параллелепипеда объема V' , площади граней которого равны S1 , S2 , S3 ( S1 S2 S3 ), На соответствующие высоты равны h1 , h2 , h3 . По условию V=S и V'=2(S1+S2+S3) . Впишем в тетраэдр сферу σ радиуса r . Так как V=Sr , то r=3 . Сфера σ лежит между парой параллельных плоскостей, содержащих грани параллелепипеда, поэтому h1> 2r=6 . Отсюда

V'=S1h1> 6S1 2(S1+S2+S3) = V'.

Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.4.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .