Задача 115313

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на стороне AB взята такая точка E, что  AE : BE = AD : BC.  Точка H – проекция точки D на прямую CE.
Докажите, что  AH = AD.

Решение

Пусть прямые CE и AD пересекаются в точке F. Треугольники AEF и BEC подобны, поэтому  AF : FC = AE : BE = AD : BC.  Значит,  AF = AD,  то есть точка A – середина гипотенузы DF прямоугольного треугольника DHF. Следовательно,  AH = ½ DF = AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3419