Задача 115332

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ). Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит через точку X , касается стороны AC и пересекает описанную окружность треугольника ABC в таких точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX пополам и пересекает стороны AB и BC в точках P и Q . Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .

Решение

Пусть T — середина отрезка BX , O — центр описанной окружности s треугольника ABC , s1 — заданная в условии окружность, касающаяся AC в точке X . При симметрии относительно точки T вершина B переходит в точку X , окружность s — в окружность, касающуюся AC в точке X , имеющую с s общую хорду и проходящую через точку X , т.е. в окружность s1 . Пусть A1 и C1 — точки, симметричные относительно T вершинам соответственно A и C , Тогда ABA1X — параллелограмм, поэтому BA1 || AX и A1X || AB . Если Q1 — точка пересечения прямых BC и XA1 , то треугольники A1Q1B и XQ1C равнобедренные, т.к. они подобны равнобедренному треугольнику ABC . Тогда A1Q1=Q1B и XQ1=Q1C , значит, A1Q1· Q1X = BQ1· Q1C , т.е. точка Q1 имеет одинаковые степени относительно окружностей s1 и s . Следовательно, точка Q1 лежит на общей хорде MN этих окружностей, а т.к. единственная общая точка прямых BC и MN — это точка Q , то точка Q1 совпадает с Q . Аналогично, точка пересечения XC1 и AB — точка P . Тогда PBQX — параллелограмм, поэтому CQ=QX=BP . Треугольники OCQ и OBP равны по двум сторонам ( OC=OB как радиусы окружности s , CQ=BP по доказанному) и углу между ними ( OCQ= OCB = OBA = OBP , т.к. треугольники ABC и BOC — равнобедренные). Тогда

OPB + OQB = OPB + (180^o - OQC)= OQC + (180^o- OQC) = 180^o,
значит, четырёхугольник OPBQ — вписанный. Следовательно, описанная окружность треугольника BPQ проходит через точку O . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6336