Задача 115644

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N . Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.

Решение

Пусть K — середина отрезка AD . Обозначим углы треугольника ABC через α , β и γ соответственно. Тогда

MNI = MNC = KNI = 90^o- KIN = 90^o-( ACI+ CAI)=

=90^o-(+)= (180^o-γ-α)== MBC.

Биссектриса угла ABD треугольника ABD и серединный перпендикуляр к его стороне AD пересекаются в точке M , значит, точка M лежит на описанной окружности этого треугольника ( M — середина дуги AD , не содержащей точки B ), поэтому
MAI = MAD = MBD = MBC = = MNI,
значит, из точек A и N , лежащих по одну сторону от прямой MI , отрезок MI виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A , I , M и N лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6612