ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115658
Тема:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM — также прямой.

Решение

Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис, поэтому луч AI — биссектриса угла BAC .
Обозначим IAN = IAB = α . Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC ,

ANM = 180o- NAB = 180o-2α,

а т.к. AIN = 90o , то
ANI = 90o- IAN = 90o-α= ANM,

т.е. луч NI — биссектриса угла ANM . Следовательно, точка I равноудалена от прямых AB , AC , BC и MN , значит, I — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ANMB . Тогда MI — биссектриса угла BMN , а т.к. BI — биссектриса угла ABM , то BIM = 90o (как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6626

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .