Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечётна.

   Решение

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

   Решение

На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC отмечены такие точки D и E, что  AD ⊥ BC  и  AD = DE.  На стороне AC отмечена такая точка F, что  EF ⊥ BC.  Найдите угол ABF.

   Решение

Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если  CBM = CDM, то  ACD = BCM.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём  BM = MN.
Докажите, что  AM = CN.

Решение

  Пусть прямая, проведённая через точку M параллельно BC, пересекает сторону AB в точке K. Тогда  ∠BKM = ∠MCN = 120°  и треугольник AKM – равносторонний.
  Обозначим  ∠KMB = ∠CBM = ∠CNM = α.  Тогда  ∠KBM = 60° – α = ∠NMC,  а так как  BM = MN,  то треугольники BKM и MCN равны по стороне и двум углам. Следовательно,   AM = KM = CN.

Источники и прецеденты использования