Задача 115947

Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Полярный трехгранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше 360^o .

Решение

Докажем сначала, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше 180^o .
Рассмотрим трёхгранный угол PABC с вершиной P . Обозначим линейные углы его двугранных углов при рёбрах PA , PB и PC через α , β и γ соответственно.
Из произвольной точки M , лежащей внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры MA1 , MB1 и MC1 на грани PBC , PAC и PAB соответственно. Рассмотрим трёхгранный угол MA1B1C1 с вершиной M ( полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские углы дополняют соответствующие двугранные углы до 180^o , а т.к. сумма плоских углов любого трёхгранного угла меньше 360^o , то

180^o-α+180^o-β+180^o-γ<360^o,
откуда
α+β+γ>180^o.

Перейдём к нашей задаче. Применим доказанное утверждение для каждого из четырёх трёхгранных углов тетраэдра и сложим полученные четыре неравенства. Каждое ребро входит ровно в два трёхгранных угла тетраэдра, значит, сумма всех двугранных углов тетраэдра вдвое меньше, чем 4· 180^o=720^o . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7320