Задача 115997

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Произволов В.В.

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

Решение

Пример таких пятиугольников см. на рисунке.

Ответ

Существуют.

Замечания

Меньше, чем по пять вершин, такие многоугольники иметь не могут. Действительно, пусть вершин четыре, тогда занумеруем вершины первого многоугольника в порядке "обхода": 1-2-3-4-1. Во втором многоугольнике у каждой вершины должны смениться оба "соседа", но это невозможно, так как в первом многоугольнике для каждой вершины существует только одна, не соседняя с ней (например, с вершиной 2 не соседствует только вершина 4).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.4.3