ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116237
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Поворот (прочее) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360°/n  вокруг некоторой точки.


Решение

   Правильный n-угольник, очевидно, переходит в себя при повороте на 360°/n  вокруг центра описанной окружности.
   Пусть теперь известно, что выпуклый n-угольник переходит в себя при повороте вокруг точки O на угол 360°/n.  Эта точка не лежит хотя бы на одной стороне, поэтому эта сторона при последовательных поворотах на 360°/n  занимает n различных положений. Значит, она последовательно совпадет со всеми остальными сторонами, то есть все стороны n-угольника равны. Равенство его углов доказывается аналогично.


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .