Задача 116295

Тема:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На продолжениях сторон AB , BC , CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD за точки B , C , D и A соответственно отложены отрезки BB1 , CC1 , DD1 и AA1 , равные этим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника A1B1C1D1 , если площадь четырёхугольника ABCD равна s .

Решение

Обозначим S_{Δ ABD}=s1 , S_{Δ BCD}=s2 . Отрезки AB и A1B — медианы треугольников A1BD и AA1B1 , поэтому

S_{Δ A}1BB1=S_{Δ A}1AB=S_{Δ ABD}=s1,
значит, S_{Δ AA}1B1=2s1 . Аналогично, S_{Δ CD}1C1=2s2 , поэтому
S_{Δ AA}1B1+S_{Δ CD}1C1=2s1+2s2= 2(s1+s2)=2s.
Аналогично получим, что
S_{Δ BB}1C1+S_{Δ DA}1D1=2s.
Следовательно,
S_A1B1C1D1=S_{Δ AA}1B1+S_{Δ CD}1C1+ S_{Δ BB}1C1+S_{Δ DA}1D1+S_ABCD= 2s+2s+s=5s.

Ответ

5s .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6133