Задача 116570
|
|
 |
Условие
Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство (b – c)2011(b + c)2011(c – b)2011 ≥ (b2011 – c2011)(b2011 + c2011)(c2011 – b2011).
Решение
Лемма. Для любых вещественных x ≥ y ≥ 0 и натурального n верно неравенство xn – yn ≥ (x – y)n.
Доказательство. Пусть x = y + t, t ≥ 0. Тогда xn = yn + nyn–1t + ... + tn ≥ yn + tn, или xn – yn ≥ tn.
Без ограничения общности можно считать, что b ≥ c. Обозначим n = 2011. По лемме
bn – cn ≥ (b – c)n, (bn – cn)(bn + cn) = (b²)n – (c²)n ≥ (b² – c²)n = (b – c)n(b + c)n.
Перемножив, получаем равносильное требуемому неравенство (bn – cn)(bn + cn)(bn – cn) ≥ (b – c)n(b + c)n(b – c)n.
