ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116574
Темы:    [ Свойства разверток ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.).

Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?


Решение

  Подходящие выпуклые многогранники можно свернуть, например, из треугольника ABC со сторонами  AB = AC = 3  и  BC = 2.  Разделим стороны на отрезки длины 1:  BM = MK = KA = CN = NL = LA = BP = PC = 1  (рис. слева).

  Если провести сгибы вдоль линий KL и MN, совместив при этом точки A и P в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как высота AP треугольника ABC перпендикулярна отрезкам KL и MN и делится ими на три равные части), а затем – сгибы вдоль линий MP и NP, совместив при этом точки B и K, C и L, то при этом образуется четырёхугольная пирамида SKLNM, удовлетворяющая условию задачи (рис. справа).

  Если же провести сгибы вдоль линий MC и KC, совместив при этом точки B и L в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как сумма любых двух из трёх углов BCM, MCK и KCL всегда больше третьего из них, а  BC = LC),  а затем – сгиб вдоль линии KL, совместив при этом точки A и M, то образуется треугольная пирамида SKMC, противоположные рёбра которой попарно различны (рис. снизу).


Ответ

Найдётся.

Замечания

Пользуясь формулой Эйлера (см. задачу 60331), можно доказать, что нет других выпуклых многогранников, удовлетворяющих условию, кроме треугольной и четырёхугольной пирамиды.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .