ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116587
Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.


Решение 1

Возьмём любые пять из данных чисел:  a, b, c, d, e.  Если  abc > de,  то утверждение верно. Если же  de > abc,  возьмём еще два числа f и g. Пусть, скажем,  f > g.  Тогда  def > abcg;  значит, и в этом случае утверждение верно.


Решение 2

Упорядочим данные числа по убыванию:  a1 > a2 > ... > a10.  Если  a1 ≥ 1,  то  a1a2a3 > a4a5.  Иначе  a7 < 1,  и, значит,  a1a2a3 > a4a5a6a7.

Замечания

Из решения 2 видно, что a1a2a3 больше либо произведения любых двух из оставшихся чисел, либо произведения любых четырёх из оставшихся.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
Задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .