ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116683
Тема:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жуков Г.

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?


Решение

Пусть a – наибольшее из чисел на доске. Оно находится между какими-то степенями двойки:  2na < 2n+1.  Прибавив к a какое-нибудь другое из написанных чисел b, получим степень двойки  a + b,  для которой  2n < a + b ≤ 2a < 2n+2.  Значит,  a + b = 2n+1.  Итак, все остальные числа равны
2n+1a,  то есть различных среди написанных чисел не более двух. А два числа могут быть, например, 1 и 3.


Ответ

Два числа.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 4, 10-11 кл. – 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .