Задача 116879

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Усеченная пирамида ] [ Скалярное произведение ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина N ребра B₁C₁ верхней грани A₁B₁C₁D₁ соединена с серединой M ребра AB нижней грани ABCD. Прямые B₁C₁ и AB не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер B₁C₁ и AB на прямую MN равны между собой.

Решение

  Утверждение равносильно тому, что равны проекции на прямую MN отрезков MB и B₁N (вдвое меньшей длины, см. рисунок), то есть тому, что  
  Введём прямоугольную декартову систему координат ОXYZ так, как показано на рисунке (О – центр нижнего основания АВСD, оси x и y параллельны сторонам основания). Пусть длины рёбер большего и меньшего оснований равны 2а и 2b соответственно, а высота пирамиды равна h.

  Тогда  В(а, а, 0),  В₁(b, b, h),  M(а, 0, 0),  N(0, b, h).  Следовательно,     Значит,  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.6